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2018年11月6日 星期二

多變項迴歸分析的呈現方式


文章作者：林星帆
本文為重新編輯 2018/3 發表在晨晰統計部落格的文章，在這裡與這裡



圖片來源在此


多變項迴歸分析


多變項迴歸分析（Multivariable or multi-predictor regression analysis）指的是迴歸方程式中，同時有 2 個或 2 個以上的解釋變項，反應變項（Response variable, Y）則可能是各種尺度的變項。

常見的有線性（連續變項）、二元、計數與存活資料等，分別適用線性迴歸（Linear regression）、羅吉斯迴歸（Logistic regression）、卜瓦松迴歸（Poisson regression）及 Cox 比例危險模型（Cox proportional hazard model）等。

呈現多變項分析結果最常見的方式就是列表，列出迴歸係數、勝算比或危險比的值、信賴區間以及顯著性，如下表所示。


表一、最常見的多變項分析之呈現方式



方程式除了列解釋變項的迴歸係數（或勝算比、危險比）之外，也列出截距項（Intercept or constant）的數值，以利讀者可以帶入特定值，以計算出預測的結果變項的數值。

例如 50 歲男性且 Creatinine 是 0.8，此人的預測 Y 值是多少。預測 Y 值在線性迴歸跟卜瓦松迴歸代表的是平均值，在羅吉斯迴歸與 Cox 模型則是代表發生事件的機率。 


將結果轉換為絕對風險


以上表格易於看出哪些解釋變項是跟結果變項有關，但對於轉換為「絕對風險」（Absolute risks）則是較為不直觀，因為讀者必須自行帶入截距項或是基線危險值（Baseline hazard）計算出 Y 的預測值。

另外一方面，表格提供的資訊並不容易比較各個解釋變項的預測效果之強弱，以上表為例，由於 age 跟 creatinine 的單位不同，並無法直接從迴歸係數或風險比直接比較兩者的效果。 

在本文之中，筆者介紹兩種呈現多變項分析結果的方法，分別為 nomogram 跟 risk score（或稱simplified points system1），可以讓讀者更能做到以下兩點：
  1. 能簡單地直接轉換特定 X 值（例如 50 歲男性且 Creatinine 是 0.8）並得到預測 Y 值
  2. 能直接評估比較不同解釋變項之間的預測效果。 


Nomogram


首先先介紹 nomogram，它其實就是直接帶入迴歸方程式，以某個個案的特定值帶入迴歸係數與截距項，所得出的預測 Y 值。以羅吉斯迴歸為例，預測 Y 值（成為事件組的機率）為以下方程式：


圖一、羅吉斯迴歸預測 Y 值的公式 


Nomogram 使用方式很簡單，根據這位個案的各個解釋變項的實際數值，在第一列會有個相對應的分數（Points），例如 Teratoma 為 1 者的分數約為 4.7 分，於是每位個案都會有一個總分（倒數第三列的 Total Points），接著再比對最後一列的預測機率（p）。

關於「評估比較不同解釋變項之間的預測效果」，則可以看各解釋變項的分數多寡，例如由本例中可得知 Teratoma, Pre.AFP, Pre.HCG 三者對於結果變項的預測效果大致差不多，都介於 4-5 分之間。反之 LHDst, Post.size 跟 Reduction 的預測力就明顯比較強。 



資料來源：Steyerberg 2009 page 31822


Nomogram 使用雖然便利，但仍有其侷限，當解釋變項太多個的時候（例如 >10），使用者在使用此工具時，當用尺量的次數變多，會造成困擾。

目前 Nomogram 可利用 Frank Harrell 撰寫的 R 套件「nomogram」3產生，針對各種配適函數（fit）都可以輕易地產生出圖形，這個部分筆者未來會專門介紹羅吉斯迴歸與 Cox 模型的實際 R 語法的應用。


Points system 


如上所述，nomogram 不適用於解釋變項太多的情況（例如 >10），當我們的多變項分析同時包括 10 個甚至 15 個變項時，此時則可以考慮以points system來呈現多變項模式的結果。

points system 會先找一個連續變項作為參考變項（reference variable），以本例中就是adenoid（介於0-100%），並且對於此連續變項作「有臨床意義的分組」，例如將 Adenoid 以每 20％分成一組，這個動作等於將迴歸係數四捨五入。

假設我們將 Adenoid 分成 <20%, 21-40%, 41-60%, 61-80%, >80% 共五組，先找出每個組別的中點（Midpoint），分別是 10%、30%、50%、70%、90%，此時 >80% 比上 <20% 就是 90% 比 10%，80 乘以迴歸係數 0.025 等於 2 。

假使我們給予 Adenoid>80% 為 8 分（比上 <20%），於是我們得知「2 單位的迴歸係數等同於8分」，那麼由於 Breathing pause 的迴歸係數是 1 單位，所以 Breathing pause=1 會被指派 4 分，若有其餘變項的話，也是以此類推。 


表二、舉例說明


關於 points system 的詳細計算，包括羅吉斯迴歸與 Cox 模型，可參見 Sullivan 2004 的文章說明1。

前述表二的例子是只有舉出 2 個變項為範例說明，下表則是列出完整範例： 



資料來源：Kang 2016 的文章4


使用方式非常簡單，根據該個案的實際數值帶入得到分數（Point），然後再加總總分並直接對應到 Risk（predicted probability）。

不過要提醒讀者，points system 雖然較 nomogram 更易於臨床使用，但以精準度來說，由於 points system 是將連續變項予以分組，所以預測值的精準度會比較低。


參考文獻


  1. Sullivan LM, Massaro JM, D'Agostino RB. Presentation of multivariate data for clinical use: the Framingham Study risk score functions. Statistics in medicine 2004; 23(10): 1631-60. 
  2. Steyerberg EW. Restrictions on candidate predictors. Clinical Prediction Models: Springer; 2009. 
  3. Harrell Jr FE. Regression modeling strategies: with applications to linear models, logistic and ordinal regression, and survival analysis: Springer; 2015. 
  4. Kang KT, Weng WC, Lee CH, Hsiao TY, Lee PL, Hsu WC. Clinical risk assessment model for pediatric obstructive sleep apnea. The Laryngoscope 2016; 126(10): 2403-9.